Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 10 класса за 2023/24 учебный год. В выбранном комплекте: 20 задач и 4 файла для подготовки.
Три натуральных числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. Если из второго вычесть 3, а из третьего вычесть 14, то получатся три последовательных члена арифметической прогрессии. Чему равна сумма трёх членов геометрической прогрессии, если разность арифметической прогрессии
Найдите количество десятибуквенных «слов», составленных из букв А, Б, В (под «словом» понимается любая последовательность подряд идущих букв), таких, что в них есть не более трёх букв Б.
Когда каждое из 15 последовательных натуральных чисел уменьшили на 2, произведение этих чисел уменьшилось в 3 раза. Найдите наименьшее из 15 исходных чисел.
Маша и Даша должны посадить по 80 кустиков клубники каждая. Маша первую половину работы делает с некоторой фиксированной скоростью, а при выполнении второй половины работы увеличивает скорость на 3 кустика в час. Даша первую половину работы проделывает со скоростью в dfrac76 раз больше Машиной, а на
На факультете учится 100 студентов. До зачёта каждые два студента встретились хотя бы на одной лекции по истории. При этом на каждой лекции по истории было не больше 50 студентов. Какое наименьшее число лекций по истории могло пройти до зачёта?
За круглый стол сели 126 мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Про многочлен q(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 известно, что каждый из коэффициентов a0,ldots,a5 равен либо +1, либо -1, а значение q(2)=-37. Найдите q(-3).
Точки P и Q — середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно, а X — точка пересечения перпендикуляра к AB, проходящего через точку A, с перпендикуляром к BC, проходящим через точку Q. Найдите длину отрезка BC, если известно, что PX=29, а угол BAC острый и sinangle BAC=dfrac18.
20 школьников записываются на кружки по физике, математике и информатике. Каждый школьник может записаться на любое количество из этих трёх кружков, но обязан выбрать хотя бы один из них. Известно, что на информатику записались 13 школьников, на физику — 10 школьников, а 9 человек записались на мате
Пункты A и B находятся на шоссе на расстоянии 70 километров друг от друга. В полдень из пункта A в направлении пункта B выезжает мотоцикл (его движение не заканчивается в пункте B). Он едет с постоянной скоростью 50 км/ч. Одновременно вместе с мотоциклом из пункта B выезжает машина, которая движется
В ромбе ABCD с острым углом A продолжение высоты, опущенной из вершины B на сторону AD, пересекает прямую CD в точке P. Известно, что высота ромба равна 1, а CP=dfrac{9√2}{2}. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.
Известно, что при некоторых x и y ровно два из четырёх чисел x-2y-2,5; 2x-y-3; x2-2x+y2+y+3; x2-x+y2+2y+2,5 равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения x+y.
В треугольнике ABC с острыми углами при вершинах A и B проведена высота CH. Точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно. Площадь треугольника AHM равна 120, а радиус вписанной в него окружности равен dfrac{15}{4}. Площадь треугольника BHN равна 48, а радиус вписанной в него окружности равен
В каждую клетку доски 24 × 30 клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из 3 клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наибольшее количество белых шашек может стоять на доске?
За круглый стол сели 90 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть
