Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 9 класса за 2022/23 учебный год. В выбранном комплекте: 20 задач и 4 файла для подготовки.
Вася написал на доске натуральные числа N и N+1. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на 20. Оказалось, что N — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа N.
Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекаются в точке E. Найдите angle BAC, если angle BEC=69circ. Ответ укажите в градусах.
Вера написала на доске восьмизначное число. Надя переставила две первые его цифры в конец и написала полученное восьмизначное число на доске (Например, если Вера написала 12,345,678, то Надя написала 34,567,812.) Из числа, написанного Верой, Люба вычла число, написанное Надей. Какие числа из отрезка
Найдите сумму всех решений уравнения [x]2+40x+336=0. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)
Известно, что число 3x-11y делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число 4x+20y при делении на число 130, если известно, что x и y — целые?
Точка F лежит на катете KP прямоугольного треугольника KPM, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке F касается гипотенузы PM и катета KM. Найдите все возможные значения KM. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.
По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Человек бежит по обочине шоссе со скоростью 10 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые dfrac{297}{64} километра пути, а автобусы, едущие в том же направлен
Задана функция f(x) такая, что f(0)=29,892,109, а для любого натурального значения k справедливо равенство f(0)+f(1)+ldots+f(k)=(k+1)(3k+1)f(k). Найдите f(2021).
За круглый стол сели 165 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Хотя бы по одному магистру из каждого ордена есть. Какое наибольшее число из сидящих за столом могло сказать: «Через 5 человек от меня есть магистр из ордена Рыцарей»?
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведены биссектрисы AP и CQ. Точки M и N — проекции точек Q и P на сторону AC соответственно. Найдите MN, если расстояние от вершины B до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 17√2.
У Васи есть карточки с числами 2000, 2001, ldots, 2051, 2052 (на каждой карточке записано ровно одно число; есть ровно одна карточка с каждым из указанных чисел). Сколькими способами он может выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3?
Дана клетчатая прямоугольная доска размера 10 × 12. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами (1;1)) в правый верхний угол (клетка с координатами (10;12)),
За круглый стол сели 70 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали карточку, на которой написано натуральное число (все числа на карточках различны). Каждый из сидящих за столом сравнил свое число с числами на карточках с
За круглый стол сели 28 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Все магистры знают, к какому из двух орденов принадлежит любой магистр, сидящий за столом. Каждый из сидящих за столом дал ответы на два вопроса: к какому ордену принадлежит
На сторонах AC и AB треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, а отрезки BD и CE пересекаются в точке F. Пусть G — такая точка на отрезке AC, что прямая BG делит CF пополам. Известно, что BE=EF=5, CD=DF=10, AG=18. Найдите AE.
Найдите количество различных значений функции f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[(5x/3)] таких, что f(x)∈[70;280]. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)
У Олега есть конфеты 16 сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух различных сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?
