Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 9 класса за 2023/24 учебный год. В выбранном комплекте: 20 задач и 4 файла для подготовки.
В классе 18 учеников. В кабинете стоят 3 ряда по 6 парт в каждом. Четверо учеников хотят сидеть на первом ряду, трое — на втором, трое — на третьем, а остальным всё равно. Сколькими способами ученики могут занять места в кабинете, если за каждой партой сидит ровно один ученик?
С первого поля собрали 600 кг пшеницы, а со второго — 1200 кг. При этом урожайность первого поля была на 50 г с квадратного метра меньше урожайности второго. На следующий год после внесения удобрений с каждого поля собрали по 2400 кг пшеницы, причём урожайность второго поля стала на 100 г с квадратн
На 23 карточках записаны цифры. Из этих карточек сначала сложили 23-значное число A, а затем, переложив карточки в другом порядке, — 23-значное число B. Оказалось, что разность (A-B) — это 22-значное число, составленное из одинаковых цифр. На какую цифру оканчивается число B, если число A оканчивает
За круглым столом сидят 17 верблюдов. Каждый из них плюнул ровно в N других верблюдов. При каком наименьшем N обязательно найдутся два верблюда, плюнувшие друг в друга?
В равностороннем треугольнике PQR проведена вписанная окружность. Высота PH пересекает окружность в точке A, отличной от H. Прямая AQ вторично пересекает окружность в точке B. Найдите радиус окружности, если AB=√(63).
За круглым столом сидят 76 мудрецов. Известно, что среди любых трёх мудрецов, сидящих подряд, есть хотя бы один мудрец в красной шапке. Какое наименьшее количество красных шапок может быть у мудрецов?
Множество M состоит из всех действительных чисел t, для которых оба числа t+dfrac1t и t2-4t являются целыми. Найдите сумму квадратов всех элементов множества M.
В прямоугольном треугольнике ABC точка D лежит на гипотенузе AB. Площади треугольников BCD и ACD равны 4 и 1 соответственно. В треугольнике ACD проведена высота DH. Найдите площадь четырёхугольника BCHD.
Точки E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD соответственно, а точки J, K — середины его диагоналей BD и AC соответственно. Прямая, проходящая через точку J параллельно AC, и прямая, проходящая через точку K параллельно BD, пересекаются в точке N. Найдите площадь
Из цифр 9, 7, 3, 1, 0 составили все возможные пятизначные числа без повторения цифр. Найдите среднее арифметическое всех полученных чисел, округлённое до ближайшего целого.
Клетки доски размером 21 × 13 раскрасили в чёрный и белый цвета так, что среди любых двух клеток, имеющих общую сторону, есть хотя бы одна чёрная. Какое наименьшее количество чёрных клеток может быть на доске?
Действительные числа x, y, z таковы, что frac1{x-y}+frac1{y-z}+frac1{z-x}=1,5. Найдите наименьшее возможное значение выражения frac1{(x-y)2}+frac1{(y-z)2}+frac1{(z-x)2}.
За круглым столом сидят 50 мудрецов. Каждый из них написал ненулевое целое число. Оказалось, что число каждого мудреца больше произведения чисел двух его ближайших соседей справа. Какое наибольшее количество положительных чисел могло быть написано?
