Заключительный этап

11 класс

Первый тур

МОШ 2026, 11 класс, задача 1

Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер правильного октаэдра по одному натуральному числу от 1 до 18 так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер? (М. Евдокимов)

Очень сложная

Стереометрия

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и AB взяли точки K и L соответственно так, что прямая IK перпендикулярна CI, а KL параллельна BI. Докажите, что треугольник LKI — равнобедренный. (М. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 11 класс, задача 3

Петя и Вася играют в следующую игру. Сначала они пишут по единице, каждый на своей доске. Далее они по очереди (начинает Петя) заменяют каждый своё число, умножая его либо на 2, либо на 3, причём после каждого хода числа, записанные на досках, должны быть различными. Пусть a — количество натуральных

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 4

В гостинице a>1 этажей, на каждом этаже b одноместных номеров. На математический конгресс приехало ab математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чё

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 5

Надя загадала многочлен P(x) с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен Q(x) с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта: • достигается ли максимальное значение P+Q, и если да, то чему оно равно; • достигается ли ми

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2026, 11 класс, задача 6

В основании выпуклой четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны, а никакие две стороны не равны. Известно, что вписанные сферы тетраэдров SABC и SACD касаются. Докажите, что вписанные сферы тетраэдров SABD и SBCD касаются. (А. Доледенок)

Очень сложная

Стереометрия

Второй тур

МОШ 2026, 11 класс, задача 1

В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано по одному действительному числу так, что суммы чисел во всех группах клеток, образующих «лесенку» (см. рисунок), одинаковы. Может ли среди записанных чисел быть по крайней мере 89 различных? (Жюри) Рисунок к условию задачи 1

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+operatorname{arctg} b>c+operatorname{arctg} d,qquad b+operatorname{arctg} a>d+operatorname{arctg} c. Докажите, что a+b>c+d. (М. Гасанов)

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 3

В остроугольном треугольнике ABC высоты AD, BE и CF пересекаются в точке H. Три окружности с центрами в точках D, E, F, проходящие через H, пересекают прямые BC, CA и AB соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольник

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 4

В классе, состоящем из не менее 5 учеников (девочек и мальчиков), провели контрольную работу. Известно, что во время работы каждая пара школьников пообщалась и ровно один из учеников в этой паре помог другому. В результате оказалось, что для каждого ученика среди тех, кому он помог, поровну девочек

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 11 класс, задача 5

Назовём натуральное N>1 хорошим, если найдутся такие натуральные числа a₁,ldots,a_N, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют N(N-1)/2 последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее 10¹⁰⁰? (А. Тертерян)

Очень сложная

Алгебра

Комбинаторика

10 класс

Заключительный этап

МОШ 2026, 10 класс, задача 1

Дан остроугольный треугольник ABC. На его описанной окружности отмечена точка D, диаметрально противоположная вершине A. Точки X и Y на стороне BC таковы, что BX=XD и CY=YD (точка X лежит на отрезке BY). Докажите, что DA — биссектриса угла XDY.

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 10 класс, задача 2

Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?

Сложная

Алгебра

МОШ 2026, 10 класс, задача 3

Имеется двести шариков ста цветов, по два шарика каждого цвета. Фокусник разложил их произвольным образом в сто коробочек, по два шарика в коробочку, где что лежит — игрок не знает. За ход игрок указывает на любые две коробочки, после чего фокусник незаметно для игрока выбирает по шарику из этих кор

Очень сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 10 класс, задача 4

На стороне BC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что BD=DE=CE. На отрезках AB, AC, AE и AD выбраны точки L, K, P и Q (все точки A, B, C, D, E, K, L, P, Q различные) соответственно так, что angle EAD=angle PDE=angle QED=angle AKP=angle ALQ. Докажите, что LK+DEle AD+AE.

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 10 класс, задача 5

Назовём набор из k последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном k количество плохих наборов из k после

Очень сложная

Алгебра

Комбинаторика

МОШ 2026, 10 класс, задача 6

Дано натуральное nge2. Симметрический многочлен P(x₁,ldots,x_n) таков, что уравнение P(x₁,ldots,x_n)=0 имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного-единственного набора a₁,ldots,a_n. Известн

Очень сложная

Алгебра

9 класс

Заключительный этап

МОШ 2026, 9 класс, задача 1

Алиса записала положительные числа a, b, c, d, e (не обязательно целые), а Маруся — числа frac1a, frac1b, frac1c, frac1d, frac1e. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси? (Д. Мухин)

Средняя

Комбинаторика

МОШ 2026, 9 класс, задача 2

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 9 класс, задача 3

На столе лежат 11 арбузов массами 1, 2, 3,..., 11 кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает 14 кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сдел

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2026, 9 класс, задача 4

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB и BC равны, K — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника ABD повторно пересекает сторону BC в точке Y, а описанная окружность треугольника BCD повторно пересекает сторону AB в точке X. Докажите, что angle AKX=angle CKY. (Ф. Нилов)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 9 класс, задача 5

Существует ли бесконечное множество S, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных x и y из S найдётся z из S (возможно, совпадающее с x или y), для которого x+y+z — квадрат натурального числа? (М. Евдокимов)

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2026, 9 класс, задача 6

Очень сложная

Комбинаторика