(13 баллов) Фокусник и его ассистент готовятся показать следующий фокус. У них есть колода из 2026 различных карт. Они сообщают зрителю натуральное число k≤1013. Зритель выбирает k произвольных карт из колоды, убирает их в конверт и заклеивает его. Затем ассистент выбирает k карт из оставшихся и пер
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 11 класс, задача 2
(14 баллов) Найдите все многочлены P(x) с рациональными коэффициентами, удовлетворяющие условию: для P(x) существует такое бесконечное множество целых чисел S, что для любого числа n из S число dfrac{1}{P((1/n))} является целым.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Высшая проба 2026, 11 класс, задача 3
(14 баллов) В пространстве размещен выпуклый многогранник. Для каждой четверки его вершин, если эта четверка не лежит в одной плоскости, вычислили объем тетраэдра с вершинами в ней. Оказалось, что все вычисленные объемы равны. Сколько вершин могло быть у исходного многогранника? Найдите все варианты
Сложная
Стереометрия
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 11 класс, задача 4
(17 баллов) Зафиксировано натуральное число n≥4. В пространстве выбрана система прямоугольных координат Oxyz и размещен куб с ребром n, разбитый на кубики с ребром 1 (ребра куба параллельны осям координат). Изначально в некоторых n кубиках записаны натуральные числа от 1 до n, каждое по одному разу.
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 11 класс, задача 5
(19 баллов) На плоскости отмечено 800 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два несовпадающих треугольника с вершинами в отмеченных точках, отношение периметров которых отличается от 1 менее чем на (1/3800000).
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 11 класс, задача 6
(23 балла) В каждой клетке таблицы 2026 × 2026 записано натуральное число от 1 до 2026, причем в каждом столбце числа не повторяются, а также в каждой строке числа не повторяются. Все клетки таблицы закрыты карточками. Разрешается один раз выбрать несколько карточек, а затем одновременно убрать их.
(11 баллов) Дан многочлен P(x) = x4 + 6x3 - 2x2 + 6x + 1. Существует ли натуральное n, при котором многочлен (P(x))n не имеет отрицательных коэффициентов?
Сложная
Алгебра
Высшая проба 2026, 10 класс, задача 2
(13 баллов) На окружности отмечено 1000 синих точек. Известно, что каждая из них является вершиной равнобедренного треугольника, остальные вершины которого тоже синие. Могло ли оказаться так, что общее количество равнобедренных треугольников с синими вершинами составляет ровно 10000?
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 10 класс, задача 3
(16 баллов) В некоторой стране 100 городов, один из которых — столица. Некоторые пары городов соединены двусторонним железнодорожным сообщением, причём известно, что из любого города можно проехать в любой другой, пользуясь железнодорожным транспортом, а также что между любой парой городов проходит
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 10 класс, задача 4
(18 баллов) Дана функция f, определённая на всей числовой прямой и принимающая числовые значения, такая, что для любых двух чисел x,y верно равенство f(x+y)=f(x)f(2026-y)+f(2026-x)f(y). Обязательно ли f(1)<1?
Очень сложная
Алгебра
Функции
Высшая проба 2026, 10 класс, задача 5
(20 баллов) Дано натуральное число n>4. Архипелаг Дракона состоит из 3n островов. Между островами действуют паромные переправы трёх различных транспортных компаний, каждая из которых владеет ровно k различными паромами. Каждый паром осуществляет одностороннюю переправу с одного острова на другой; дл
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 10 класс, задача 6
(22 балла) На плоскости ввели прямоугольную систему координат и отметили все 10 точек, у которых обе координаты являются натуральными числами, причём абсцисса не превышает 2, а ордината не превышает 5. Затем все отрезки между двумя отмеченными точками, координаты которых отличаются ровно на 1 ровно
(13 баллов) В игре «Тактика онлайн» у каждого игрока есть рейтинг: это отношение числа побед игрока к общему числу сыгранным им игр, посчитанное в процентах и округленное до ближайшего целого числа, не превосходящего полученной величины в процентах. До сегодняшнего дня Вася сыграл несколько игр, а с
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 9 класс, задача 2
(13 баллов) Числа a, b, c являются длинами сторон остроугольного треугольника. Докажите неравенство a3+b3+abc>c3.
Сложная
Неравенства
Планиметрия
Высшая проба 2026, 9 класс, задача 3
(17 баллов) Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором angle B=90circ. На стороне AB отметили точку D, а на стороне BC - точку E так, что прямая AC параллельна прямой DE, расстояние между прямыми AC и DE равно 1, а длина DE равна 1. Обязательно ли отрезок биссектрисы угла B, лежащий вну
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2026, 9 класс, задача 4
(17 баллов) В цирке работают 10 силачей, у которых есть 10 разных гирь. Каждый силач может поднять любую гирю не тяжелее определённого веса (и для каждого силача этот вес свой). Для номера нужно каждому силачу выдать по гире, которую он сможет поднять. Могло ли оказаться так, что есть ровно 6048 спо
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 9 класс, задача 5
(19 баллов) Фокусник и его ассистент готовятся показать следующий фокус. У них есть 16 различных карточек четырёх цветов. Карточек каждого цвета по четыре штуки; на карточках каждого цвета написаны натуральные числа от 1 до 4, причём числа на разных карточках одного цвета не повторяются. Зритель выб
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 9 класс, задача 6
(21 балл) В лаборатории есть 100 пробирок. В одной из них - бесцветный химикат, а в остальных - вода. Требуется определить, в какой из пробирок находится химикат. Для этого можно приготовить несколько смесей жидкостей из пробирок и отправить на экспертизу, которая для каждой смеси покажет, содержитс
(13 баллов) В игре «Тактика онлайн» за каждую победу игроку начисляют 15 очков, за ничью - 8 очков, а за каждое поражение снимают 12 очков. За какое наименьшее количество игр Вася мог набрать 104 очка?
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 8 класс, задача 2
(13 баллов) По кругу сидят 100 гномов, перед каждым лежит чётное число кристаллов. Если бы каждый гном отдал половину своих кристаллов соседу справа, то у 64 гномов кристаллов стало бы больше, а у всех остальных - меньше. У какого наибольшего количества гномов может стать больше кристаллов, чем было
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 8 класс, задача 3
(16 баллов) В треугольнике ABC точка D - середина AB, а точка E - середина AC. На стороне AC выбрана точка F такая, что AF=2FC. Известно, что DF - биссектриса угла angle CDE, angle B=60circ. Найдите угол angle BAC.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2026, 8 класс, задача 4
(16 баллов) В цирке работают 10 силачей, у которых есть 10 разных гирь. Каждый силач может поднять любую гирю не тяжелее определённого веса (и для каждого силача этот вес свой). Для номера нужно каждому силачу выдать по гире, которую он сможет поднять. Могло ли оказаться так, что есть ровно 3000 спо
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 8 класс, задача 5
(20 баллов) В лаборатории тестируют два одинаковых телефона. Каждый телефон в течение часа равномерно заряжается от 0% до 100%, после чего его тут же отключают от зарядки. В течение двух часов телефон равномерно разряжается до 20%, после чего он переходит в режим энергосбережения и равномерно разряж
Сложная
Алгебра
Высшая проба 2026, 8 класс, задача 6
(22 балла) У Миши есть клетчатая доска 100 × 100 и 500 полных наборов кораблей для игры в морской бой (каждый набор содержит один корабль в виде прямоугольника 1 × 4, два 1 × 3, три 1 × 2 и четыре 1 × 1). Он хочет разместить корабли из этих наборов на доске по правилам морского боя (никакие два разл
(9 баллов) Разрежьте данную фигуру на три равные по форме и размеру части. Фигуры, отличающиеся поворотом или отражением, считаются равными. Фигура
Средняя
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 7 класс, задача 2
(16 баллов) Двадцать три одинаковых блинчика разделили поровну между семью гостями. Назовем кусочком часть блинчика, которая меньше, чем целый блинчик. Какое наименьшее число кусочков могло получиться?
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 7 класс, задача 3
(16 баллов) Четверо детей (не младше 3 и не старше 12 лет, возраст считается целым числом лет) сделали по два утверждения: одно истинное и одно ложное. Первый: «Сумма наших возрастов нечётная. Мой возраст чётный.» Второй: «Только у одного из нас нечётный возраст. Произведение наших возрастов равно 8
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 7 класс, задача 4
(17 баллов) У бизнесмена есть 4 чемодана, которые весят 12 кг, 13 кг, 24 кг и 29 кг. Он находится на первом этаже небоскрёба и хочет подняться вместе со всеми чемоданами на верхний этаж. Лифт сломался и едет вверх или вниз, только если суммарный вес пассажиров и их вещей в килограммах делится нацело
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 7 класс, задача 5
(20 баллов) В магазине продаются 9 разных чашек трёх цветов (красные, оранжевые, фиолетовые) с тремя узорами (в горошек, в полосочку и в клеточку). Все чашки стоят целое число монет от 1 до 9, причём все цены попарно различны. Известно, что все не красные чашки не в горошек суммарно стоят 25 монет,
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2026, 7 класс, задача 6
(22 балла) Некоторые клетки квадрата n × n покрасили в красный цвет, при этом в каждой строке и в каждом столбце покрашено ровно 100 клеток. Известно, что никакие две красные клетки не касаются друг друга сторонами или углами. При каком наименьшем n такое могло произойти?
