Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 10 класса за 2022/23 учебный год. В выбранном комплекте: 20 задач и 4 файла для подготовки.
Вася написал на доске натуральные числа N и N+2. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на 22. Оказалось, что N — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа N.
Сколькими способами в прямоугольнике 5 × 15 можно разместить две кости домино 1 × 2, каждая из которых покрашена в два цвета — чёрный и белый? Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной чёрная часть кости, а на другой — белая.
Вера написала на доске шестизначное число. Надя переставила его первую цифру в конец и написала полученное шестизначное число на доске. (Например, если Вера написала 123,456, то Надя написала 234,561.) Люба сложила два написанных на доске числа. Определите, какие числа из отрезка [180,000;230,000] м
Найдите сумму квадратов всех решений уравнения [x]2-24[x]+23=0. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)
Окружности Ω и ω радиусов 5 и 3 соответственно касаются друг друга внутренним образом в точке T. Прямая ell пересекает окружность ω в точках B и C, а окружность Ω — в точках A и D, причём B лежит между A и C, C лежит между B и D, а центры окружностей лежат по одну сторону от ell. Известно, что AB:BC
Точка M расположена внутри треугольника ABC; точки H1, H2, H3 — её проекции на стороны AB, BC, AC соответственно. Известно, что AB=AC=7√3, BC=2√(26), а площади четырёхугольников BH1MH2, CH2MH3, AH1MH3
По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Велосипедист едет по обочине шоссе и замечает, что автобусы навстречу попадаются каждые 42 минуты, а автобусы, едущие в том же направлении, что и он, обгоняют его через каждые 25,
Последовательность x1,x2,ldots,xn,ldots такова, что x1=126,650, а для любого натурального значения n справедливо соотношение x1+x2+ldots+xn=(n(8n+17)(2n+1)xn/15(2n+3)). Найдите x1562.
Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 5 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более S метров. При каком наименьшем S они гарантированно мог
Уравнение 25x3-120x2+156x+a=0 имеет три различных корня, которые образуют арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра a. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Прямоугольный треугольник ABC (angle A=90circ) с катетами 51 и 70 вписан в окружность Γ. Пусть E и F — середины меньших дуг AB и AC описанной окружности. Вычислите длину части отрезка EF, попавшей внутрь треугольника ABC. Ответ округлите до сотых.
На декартовой плоскости имеется квадратный бильярдный стол с вершинами в точках (0;0), (0;10), (10;0) и (10;10) и шар в точке (3;4). Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка (10;0)), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, сн
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон CB и CA в точках M и N соответственно. Прямая, проходящая через точку B параллельно MN, пересекает окружность в двух точках, из которых точка P — ближайшая к точке B. Найдите PM, если известно, что BP=17 и MN=153.
Найдите количество различных значений функции f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[(5x/3)] на отрезке x∈[0;100]. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)
У Ольги есть конфеты 30 сортов. Она хочет выложить конфеты по кругу так, чтобы для любых двух сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ей для этого хватит?
На трёх параллельных прямых ell1, ell2, ell3 взяты точки A1, A2, A3 соответственно, и при этом A1A2=A1A3. Известно, что расстояние между прямыми ell1 и ell2 равно 5, ра
