Произведение двух натуральных чисел A и B — это четырёхзначное число, у которого первая цифра совпадает с третьей, а вторая совпадает с четвёртой. Какое наибольшее произведение могут иметь числа A и B, если известно, что A+B меньше 195? Миша выписал на доску 7 подряд идущих натуральных чисел и сложил их. Оказалось, что эта сумма заканчивается на 1230123. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных на доске? На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки E и F, а на сторонах AD и AB — их середины M и N соответственно. Петя соединил некоторые из точек и закрасил четыре из полученных многоугольников, как показано на рисунке, после чего на двух из них написал их площади y и z, а две другие неизвес Найдите наименьшее положительное значение константы C такое, что при любых a и b выполняется неравенство C+a2+b2ge ab+a+b. Трапеция ABCD с основаниями AD=8, BC=6 вписана в окружность. Хорда EF окружности, содержащая среднюю линию трапеции, имеет длину 3√(11). Какую длину имеет хорда PQ, параллельная EF, проходящая через точку S на стороне AB такую, что AS:BS=4:3? В ответ напишите квадрат искомой величины. В окружность вписан правильный 24000-угольник A1A2ldots A24000. Вася начинает движение из точки A1 и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркивают Треугольник XYZ равнобедренный (angle XYZ=angle XZY=35circ). Внутри угла XYZ, но вне треугольника XYZ взята точка P так, что angle XPY=22circ, а angle ZPY=55circ. Найдите angle PYX. Ответ дайте в градусах. У фокусника есть два набора по 40 карточек. На карточках каждого набора написаны различные натуральные числа от 1 до 40 (по одному числу на карточке). Фокусник перемешал карточки в каждом из наборов. После чего карточки первого набора он положил сверху на карточки второго набора. Затем он посчитал к Рассматривают все непустые подмножества множества {1;2;ldots;150}. Для каждого из них находят среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических. Вова задумал многочлен Q(x) с целыми коэффициентами. Оказалось, что Q(11)=Q(25)=450. Какое наименьшее значение может принимать его свободный член c, если |c|<150? Фишка покрашена в два цвета. Одна сторона — в красный, другая — в синий. На стол положили красной стороной вверх 100 фишек. Вася перевернул 55 фишек, затем Коля перевернул 68 фишек, наконец, Петя перевернул 77 фишек. Оказалось, что теперь все фишки лежат синей стороной вверх. Сколько фишек переворач Сколькими способами можно добраться от точки A до точки B по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх? Рисунок к условию Найдите количество пар таких натуральных чисел a и b, что a — трёхзначное, b — четырёхзначное, в своей записи они не содержат нулевых цифр, а их произведение делится на 15. Вася записал в тетрадь 40 ненулевых чисел (среди которых могут быть равные), а затем дописал к ним ещё 40 чисел, вычтя из квадрата каждого исходного числа сумму остальных исходных чисел. Какое наибольшее число отрицательных чисел среди всех 80 выписанных чисел могло получиться у Васи? В параллелограмме ABCD выполняется соотношение BC=3AB. Биссектрисы углов BAD и ABC пересекают прямую CD в точках P и Q соответственно. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если PQ=5. Найдите количество способов расставить 150 монет попарно различных номиналов в ряд так, чтобы нашлось не более двух пар монет (не обязательно соседних), для которых монета, стоящая правее, имеет больший номинал. Для некоторых различных чисел x и y выполняются равенства x2-y2=15(x-y) и x3-y3=225(x-y). При каком наибольшем k может выполняться равенство x7-y7=k(x4-y4)? На приведённом чертеже ABCD — прямоугольная трапеция, основания BC и AD которой равны a и b соответственно, а O — центр окружности, касающейся стороны CD. Найдите расстояние между точками X и Y. Рисунок к условию Положительные числа x1, x2, x3, x4, x5 и y удовлетворяют равенствам: x1+x2+x3+x4+x5-517-256y+96y2=0 и frac1{x1}+frac1{x2}+frac1{x3}+frac1{x4 Двести школьников собирают наклейки, среди которых есть наклейки редких видов. Оказалось, что у каждого школьника есть наклейки ровно двух редких видов, и для каждого редкого вида наклеек найдётся школьник, у которого есть наклейка такого вида. Также известно, что каких бы 10 школьников ни взять, на 
