Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» за 2025/26 учебный год. В выбранном комплекте: 30 задач и 6 файлов для подготовки.
Вася написал на доске выражение 31+32+33+ldots+100, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно 4489. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?
В остроугольном треугольнике a, b, c — длины сторон, а α, β, γ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение a(b2+c2)cosα+b(c2+a2)cosβ+c(a2+b2)cosγ, если известно, что abc=2?
На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G, H, K и L, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади x1,ldots,x
В окружности ω проведены три хорды AB, AC и AD так, что углы angle BAC и angle DAC равны между собой. Найдите хорду BD, если AB=√2, AC=3, AD=5√2. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Петя записал на доске множество A всех натуральных чисел от 1 до 100. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества A нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число x — среднее арифметическое всех найденных им средних арифметических. Затем Петя заменил в своём
В пирамиду SABC вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром O) лежит в треугольнике ABC, а другое касается граней SAB, SAC и SBC. Высота пирамиды SH вдвое больше высоты цилиндра. Пусть M — геометрическое место точек H, а N — геометрическое место точек O. Найдите площадь M, если
Вася задал последовательность xn следующим образом: x0=2, а для любого натурального n xn=(n4-2n2+2)(frac{xn-1}{n4-4n3+4n2+1}+2). Чему равно значение x100?
Пусть для некоторого α уравнение ax2+bx+c=0 имеет два различных корня x1=cosα и x2=sinα. Какое наименьшее значение может принимать b, если a+2c=dfrac9a?
Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=√3, AC=4. Вася последовательно передвигает сначала точку A вдоль прямой, параллельной BC, затем точку B вдоль прямой, параллельной (новой) AC, а затем C вдоль прямой, параллельной (новой) прямой AB. Обозначим полученный Васей тр
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R, а P — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника APC и площадь четырёхугольника PFBE равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения AB · BC, если angle ABC=β. Рисунок к условию
На двух параллельных прямых взяты точки A, B, C, D, X, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение BC:AD=x, после чего отметил точки пересечения медиан P, Q, R соответственно треугольников BAX, CDX и AXD. Петя вычислил площадь треугольника PQR: она оказалась равна S. Найдите площадь треугольника A
Сколькими способами можно добраться от точки A до точки B по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх? Рисунок к условию
Каждый из участников школьного кружка, кроме Андрея, дружит с разным числом других участников. Андрей дружит с 9 из них. Каково наибольшее возможное число школьников в кружке?
Вася придумал функцию f(x) такую, что для любого действительного числа x и для некоторого фиксированного положительного числа k выполняется равенство (√3-f(x))f(x+k)=√3f(x)+1. При каком наибольшем целом значении m из интервала (30;50) можно утверждать, что f(x+mk)=f(x) при всех действительных x?
Две окружности ω1 и ω2 равного радиуса 10 пересекаются в точках B и C. На окружности ω1 выбрана точка A, которая не лежит внутри ω2. Луч AB пересекает ω2 в точке D, причём B лежит на отрезке AD. Точка E симметрична точке D относительно точки C.
Маша и Саша играют в следующую игру. Несколько раз бросается симметричный кубик. Его грани пронумерованы натуральными числами от 1 до 6, а выпадение любой грани равновероятно. Маша побеждает при выпадении подряд двух шестёрок, а Саша — при выпадении подряд двух нечётных цифр. Какова вероятность того
В турнире у волейбольной команды было 10 побед и 6 поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательность по
Найдите все положительные числа x такие, что оба числа x+dfrac1x и x2-4x являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH, а затем на отрезке CH как на диаметре построена окружность. Точки M, N и P отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение BH:CH, если (MP · NP):CP2=0,75 и AH:CH=0,5. Рисунок к условию
Имеется 2600 наборов по 50 карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на 100 карточках этих наборов будет написано ровно 99 различных натуральных чисел. Какое наименьшее ко
На стороне BC треугольника ABC отмечены точки X и Y, а на меньшей дуге BC его описанной окружности отмечены точки P и Q так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи PX и QY пересекаются в точке R. Найдите угол BAC, если угол BRC равен α. Рисунок к условию
