Муниципальный (7–11 классы)

11 класс

Основной вариант

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 1

(4 баллов) Каждое из натуральных чисел a, b, c, d не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения a+(1/b+frac{1) {c+(1/d) }}.

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 2

(4 баллов) Дана правильная десятиугольная призма A₁A₂ldots A₁₀B₁B₂ldots B₁₀. Некоторая плоскость α пересекает n её рёбер, не проходя ни через одну из точек A₁,ldots,A₁₀,B₁,ldots,B₁₀. (а) (1

Сложная

Стереометрия

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Назовём хорошей пару (a,b) натуральных чисел, лежащих на отрезке [100;240], если число sqrt a+sqrt b является целым. Сколько существует хороших пар?

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 4

(4 баллов) На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, о

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 5

(4 баллов) Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток. Пару натуральных чисел (m,n) назовём подходящей, если существует разнообразная табли

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6

(4 баллов) В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BCparallel AD, AD=14 и BC=9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ell касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ell. Найдите длину отрезка CH.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 7

(4 баллов) Многочлен P(x) с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных x верно P(x²)=x(1+x²)P(x). (а) (1 балл) Найдите P(-1). (б) (3 балла) Найдите (P(5)/P(2)).

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 8

(4 баллов) Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит a камней, а на правой — b камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра. Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, при

Очень сложная

Комбинаторика

10 класс

Основной вариант

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 1

(4 баллов) Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8 × 8. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Действительные ненулевые числа a и b таковы, что квадратный трёхчлен P(x)=ax²-20ax+b имеет два действительных корня, отличающихся на 2. (а) (2 балла) Найдите меньший из этих корней. (б) (2 балла) Найдите frac ba.

Простая

Алгебра

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Вписанный четырёхугольник ABCD таков, что angle ADB=40^circ и angle CDB=52^circ. Точка M внутри четырёхугольника такова, что angle BAM=26^circ и angle BCM=20^circ. Сколько градусов составляет угол CBM?

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 4

(4 баллов) Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы n слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение n.

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 5

(4 баллов) Различные натуральные числа n и k таковы, что k

Очень сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 6

(4 баллов) (а) (2 балла) Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на 12? (б) (2 балла) Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Как

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 7

(4 баллов) Девять посёлков соединены восемью дорогами A, B, C, D, E, F, G, H, как показано на рисунке. Длины дорог равны 1, 2, 3, ldots, 8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили. Рисунок к задаче 10.7 (а) (2 б

Очень сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 8

(4 баллов) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. На продолжении отрезка HA за точку A нашлась точка D такая, что angle DBA=angle CBA. Найдите длину отрезка BD, если известно, что BC=7 и AD=12.

Сложная

Планиметрия

9 класс

Основной вариант

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 1

(4 баллов) У Пети дома есть много ручек: синих и красных. Собираясь в школу, он положил в пенал 20% имеющихся ручек. Среди положенных ручек ровно 25% оказались красными. Подумав, Петя решил положить в пенал ещё 4 синих ручки. После этого доля красных ручек в пенале составила 20%. Сколько всего ручек

Простая

Алгебра

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Через вершину D квадрата ABCD проведена прямая ell, и на неё опущены высоты AX, BY, CZ, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата ABCD равна 169, а длина отрезка AX равна 5. Рисунок к задаче 9.2 (а) (2 балла) Найдите длину отрезка CZ. (б) (2 балла) Найдите длину отрезка BY.

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 3

(4 баллов) По кругу лежали n шариков, где 6≤ n≤100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 4

(4 баллов) В выражении (a+2b)(b+2c)(c+2d)(d+2e)(e+2f)(f+2a) раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. (а) (2 балла) Найдите коэффициент при abcdef. (б) (2 балла) Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором AB=BD. На отрезке BD выбрали точку K так, что ADparallel KC. Описанная окружность треугольника KDC пересекает отрезок BC в точке L. Известно, что angle ABD=48^circ и angle CBD=13^circ. Сколько градусов составляет угол BAL?

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 6

(4 баллов) В очереди в буфет стоят 30 человек, у каждого из них есть целое неотрицательное число рублей — суммарно у всех ровно N рублей. Все они по порядку пронумерованы числами от 1 до 30 (т. е. человек № 1 находится в начале очереди, а человек № 30 — в конце). Каждый человек в очереди знает, скол

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 7

(4 баллов) В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400. Число назовём классным, если его можно получить в результате не

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 8

(4 баллов) Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат 1 × 1 тоже является полоской). Назовём натуральное число k хорошим, если клетчатый прямоугольник 43 × k можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует х

Сложная

Комбинаторика

8 класс

Основной вариант

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 1

(4 баллов) Найдите наименьшее натуральное n такое, что 0,underbrace{99ldots9}_n>(2022/2023).

Простая

Алгебра

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 2

(4 баллов) В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось б

Простая

Алгебра

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 3

(4 баллов) Натуральное число k≤100 таково, что k^k является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать k?

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 4

(4 баллов) В треугольнике ABC с углом B, равным 60^circ, проведены биссектрисы AY и CX. На отрезках AX и CY отмечены точки K и N так, что KNparallel AC. Прямая KN пересекает отрезки CX и AY в точках L и M соответственно. Оказалось, что KL=LM=MN. Известно, что KN=9. Рисунок к задаче 8.4 (а)

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 5

(4 баллов) По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом? (б) (2 балла) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за с

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 6

(4 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 7

(4 баллов) У Егора есть доска 5 × 5, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал числ

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 8

(4 баллов) На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD отмечена точка T так, что AD=BT. Оказалось, что AB=BC=CT, angle ABT=angle CAD, angle ABC=132^circ. Сколько градусов составляет угол BCD? Рисунок к задаче 8.8

Сложная

Планиметрия

7 класс

Основной вариант

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 1

(4 баллов) Малыш может самостоятельно съесть торт за 30 минут, а Карлсон — за 6 минут. (а) (2 балла) Малыш и Карлсон нашли 12 тортов и решили их съесть. Малыш съел несколько тортов; за это же время Карлсон успел съесть все остальные. Сколько тортов съел Карлсон? (б) (2 балла) За сколько минут Малыш

Простая

Алгебра

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 2

(4 баллов) Четырёхзначное число N состоит из ненулевых цифр, сумма которых равна 20. Известно, что сумма третьей и четвёртой цифры числа N делится на его вторую цифру (нумерация цифр начинается слева). (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать N? (б) (2 балла) Какое наибольшее значение

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 3

(4 баллов) На прямой отмечены точки A, B, C и D. Получилось шесть отрезков: AB, BC, CD, AC, BD, AD. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14. Рисунок к задаче 7.3 (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение длины шестого отрезк

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 4

(4 баллов) У Кирилла, Льва, Миши и Николая есть несколько монет, в сумме всего 48. Они сделали следующие заявления: Кирилл: «У меня монет в 2 раза меньше, чем у остальных в сумме»; Лев: «У меня монет в 3 раза меньше, чем у остальных в сумме»; Миша: «У меня монет в 4 раза меньше, чем у остальных в су

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 5

(4 баллов) На рисунке изображены пять прямоугольников, площади четырёх из них указаны. Найдите площадь пятого прямоугольника. Рисунок к задаче 7.5

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 6

(4 баллов) В корзине лежат: яблоки: 5 красных, 12 жёлтых и 16 зелёных; груши: 14 красных, 13 жёлтых и 8 зелёных. (а) (2 балла) При каком наименьшем k среди произвольно выбранных k фруктов обязательно найдутся одноцветные яблоко и груша? (б) (2 балла) При каком наименьшем k среди произвольно выбранны

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 7

(4 баллов) Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например, у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна 1-2+3=2; у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна 1-2=-1; у числа 1 знакопеременная сум

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 8

(4 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Однажды 30 островитян встали в круг. Каждого из них спросили: «Есть ли среди двух твоих соседей хотя бы один хитрец?». Было получено 13 ответов «Да» и 17 ответ

Сложная

Комбинаторика