1. Олимпиады
  2. ВСОШ

Муниципальный (7–11 классы)

11 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Найдите натуральное x такое, что xx=22^{11}.
Очень сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 2

(7 баллов) В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=10, BC=12 отметили точку M — середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP. Найдите площадь четырехугольника ABPD.
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна frac15). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна frac1{1300}). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым чле
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) У Пети есть натуральное число N. Он рассматривает все пары цифр числа N, одна из которых четная, а другая нечетная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел
Очень сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 5

(7 баллов) Рассмотрим правильную десятиугольную призму A1A2ldots A10B1B2ldots B10. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы и скрещивающихся с диагональю A1B6.
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Функции f(x) и g(x) определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что f(x) и g(x) взаимно обратны, при этом значения функций f(x) и frac12x во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение g(x)=25-x2 имеет целый корень.
Очень сложная
Алгебра

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 7

(7 баллов) В остроугольном треугольнике провели высоту BH. На дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку B, отметили такую точку X такую, что BX=BC. Прямая, проходящая через X параллельно AB, пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q. Найдите длину отрезка PQ, если AB=7, AC=1
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Петя и Вася играют в следующую игру. На доске 5 × 5 в каждой клетке лежит по n конфет. Петя и Вася по очереди, начиная с Пети, выбирают непустую клетку и съедают из неё несколько конфет. При этом из угловых клеток разрешается съедать не более двух конфет, из клеток, имеющих 3 соседа по ст
Очень сложная
Комбинаторика

10 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых n членов равна 450. Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
Очень сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 2

(7 баллов) На множестве целых чисел ввели две операции: astar b=b2-a2, adiamond b=a-b+3. Найдите значение выражения ({ldots}((((1star2)diamond3)star4)diamond5)star{ldots})star2024.
Очень сложная
Алгебра

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 3

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z. Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC=22,
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что AX=CD и angle BXD=angle CDA. Найдите BX, если известно, что AB=8, BC=10, CD=3.
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 6

(7 баллов) При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 7

(7 баллов) У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжа
Очень сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 8

(7 баллов) Вычислите сумму (x13/1-3x1+3x12) +(x23/1-3x2+3x22) +ldots+frac{x1013}{1-3x101+3x1012}, если для всех i от 1 до 101 выполнено
Очень сложная
Алгебра

9 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1000 рублей и frac1{10} оставшихся доходов, второй — 2000 рублей и frac1{10} остатка, третий — 3000 рублей и frac1{10} остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну. Сколько рублей получил кажд
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 2

(7 баллов) В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть еще 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность пер
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3

(7 баллов) По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 19 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 4

(7 баллов) На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD. Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=10, AB=14.
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 м
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 6

(7 баллов) Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 321 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать? (б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 7

(7 баллов) (а) (2 балла) Клетки таблицы 11 × 10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2 × 2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть? (б) (5 баллов) Клетки таблицы 11 × 10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1 × 4 и 4 × 1 е
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 8

(7 баллов) Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка AF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=5. Рис. 21
Сложная
Планиметрия

8 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 1

(7 баллов) На шоссе в указанном порядке расположены 5 городов: A, B, C, D, E. Для каждого из них посчитали суммарное расстояние до всех остальных городов, получились числа на картинке. Рис. 7 (а) (3 балла) Чему равно расстояние между городами A и E? (б) (4 балла) Чему равно расстояние между городами
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 2

(7 баллов) На доске написано 432105. За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на 9 меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале. Так, например, если бы
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 3

(7 баллов) В треугольнике ABC отметили точки D и E — середины AB и BC соответственно. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы углов CAB и BED, если angle ABC=56circ. Ответ укажите в градусах. Напомним, что угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных при их перес
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 4

(7 баллов) Дед Мороз раздал подарки 17 ребятам. Во всех подарках различное ненулевое количество конфет, а любые девять ребят получили больше конфет, чем оставшиеся восемь. Какое наименьшее количество конфет мог раздать Дед Мороз?
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 5

(7 баллов) Целые числа a, b, c таковы, что a2+b2c2+c2=2c(ab+1) и a+b+c=800. Чему может быть равно b? Укажите все возможные варианты ответа.
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 6

(7 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На его стороне AB отметили точку X так, что угол angle ABC=4angle ACX. Точка M — середина стороны AC. Найдите длину отрезка BX, если известно, что BC=53, BM=40.
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 7

(7 баллов) Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, в которых расставлены числа, как на рисунке. За один ход можно выбрать одну из вершин сетки и увеличить числа во всех клетках с этой вершиной на 1. Леша хочет сделать несколько ходов так, чтобы все числа оказались р
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 8

(7 баллов) Карточки с натуральными числами от 1 до 20 разбили на 2 группы по 10 карточек. Назовём пару чисел n
Сложная
Комбинаторика

7 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 1

(7 баллов) В Матемляндии есть разные купюры: вамбики, кабодики и джамбики. Пять вамбиков равны трем кабодикам, а десять кабодиков — двум джамбикам. Сколько джамбиков равны 225 вамбикам?
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 2

(7 баллов) Петя на клетчатой плоскости нарисовал по клеткам два прямоугольника. У одного из них стороны равны 3 и 10, а у другого стороны равны 5 и 6. Оказалось, что площадь их пересечения равна 12. Чему может быть равен периметр их объединения? Укажите все возможные варианты ответа.
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 3

(7 баллов) Петя взял все натуральные числа от 1 до 2025, возвел их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 4

(7 баллов) У Алексея, Бориса, Вити, Гены и Димы есть суммарно 300 монет. Они сделали следующие утверждения: Алексей: «Количество монет у меня хотя бы столько же, сколько и суммарно у остальных». Борис: «Количество монет у меня хотя бы половина от суммарного количества монет у остальных». Витя: «Коли
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 5

(7 баллов) Найдите количество путей длины 11 из A в B по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1. Рис. 2
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 6

(7 баллов) Двадцать прямых, никакие две из которых не параллельны, пересекаются в N точках. В одной из точек пересекается сразу десять прямых, еще в одной — пять, а во всех остальных только по две прямые. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты ответа.
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 7

(7 баллов) В ряд выписали дроби frac11, frac12, frac13, ldots, frac1{1000}. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на 772?
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 8

(7 баллов) Царство гномов состоит из 20 кланов по 100 гномов. Каждый гном входит только в один клан. Гном считается высоким, если найдется хотя бы 10 кланов, не включая его собственный, средний рост в каждом из которых меньше, чем рост этого гнома. Какое наибольшее количество высоких гномов может бы
Сложная
Комбинаторика