Вася написал на доске выражение 31+32+33+ldots+100, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно 4489. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 3

В остроугольном треугольнике a, b, c — длины сторон, а α, β, γ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение a(b²+c²)cosα+b(c²+a²)cosβ+c(a²+b²)cosγ, если известно, что abc=2?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 4

Вычислите площадь множества точек, координаты которых (x;y) удовлетворяют неравенству |x-1|+|x+1|+2|y|le8.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G, H, K и L, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади x₁,ldots,x

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 6

Найдите наибольшее натуральное k такое, что число 6400²⁰⁰¹-16⁴⁰⁰² делится на 4^k.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 7

В окружности ω проведены три хорды AB, AC и AD так, что углы angle BAC и angle DAC равны между собой. Найдите хорду BD, если AB=√2, AC=3, AD=5√2. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 8

Петя записал на доске множество A всех натуральных чисел от 1 до 100. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества A нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число x — среднее арифметическое всех найденных им средних арифметических. Затем Петя заменил в своём

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 9

В пирамиду SABC вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром O) лежит в треугольнике ABC, а другое касается граней SAB, SAC и SBC. Высота пирамиды SH вдвое больше высоты цилиндра. Пусть M — геометрическое место точек H, а N — геометрическое место точек O. Найдите площадь M, если

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Вася задал последовательность x_n следующим образом: x₀=2, а для любого натурального n x_n=(n⁴-2n²+2)(frac{x_n-1}{n⁴-4n³+4n²+1}+2). Чему равно значение x₁₀₀?

Средняя

Выражения и преобразования

Второй тур

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 1

Пусть для некоторого α уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня x₁=cosα и x₂=sinα. Какое наименьшее значение может принимать b, если a+2c=dfrac9a?

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2

Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=√3, AC=4. Вася последовательно передвигает сначала точку A вдоль прямой, параллельной BC, затем точку B вдоль прямой, параллельной (новой) AC, а затем C вдоль прямой, параллельной (новой) прямой AB. Обозначим полученный Васей тр

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 3

Найдите минимальное значение параметра a, при котором система имеет единственное решение.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 4

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R, а P — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника APC и площадь четырёхугольника PFBE равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения AB · BC, если angle ABC=β. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Найдите количество пар таких натуральных чисел a и b, что a — трёхзначное, b — четырёхзначное, а их произведение делится на 35.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

На двух параллельных прямых взяты точки A, B, C, D, X, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение BC:AD=x, после чего отметил точки пересечения медиан P, Q, R соответственно треугольников BAX, CDX и AXD. Петя вычислил площадь треугольника PQR: она оказалась равна S. Найдите площадь треугольника A

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 7

Сколькими способами можно добраться от точки A до точки B по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх? Рисунок к условию

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 8

Найдите количество всех пар натуральных чисел x, y, при которых является верным равенство ³√(10^x)+x³+3x²+x+5y=10¹⁰⁰¹.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 9

Каждый из участников школьного кружка, кроме Андрея, дружит с разным числом других участников. Андрей дружит с 9 из них. Каково наибольшее возможное число школьников в кружке?

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 10

Вася придумал функцию f(x) такую, что для любого действительного числа x и для некоторого фиксированного положительного числа k выполняется равенство (√3-f(x))f(x+k)=√3f(x)+1. При каком наибольшем целом значении m из интервала (30;50) можно утверждать, что f(x+mk)=f(x) при всех действительных x?

Средняя

Выражения и преобразования

Третий тур

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 1

Две окружности ω₁ и ω₂ равного радиуса 10 пересекаются в точках B и C. На окружности ω₁ выбрана точка A, которая не лежит внутри ω₂. Луч AB пересекает ω₂ в точке D, причём B лежит на отрезке AD. Точка E симметрична точке D относительно точки C.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 2

Маша и Саша играют в следующую игру. Несколько раз бросается симметричный кубик. Его грани пронумерованы натуральными числами от 1 до 6, а выпадение любой грани равновероятно. Маша побеждает при выпадении подряд двух шестёрок, а Саша — при выпадении подряд двух нечётных цифр. Какова вероятность того

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 3

Решите уравнение ³√(x+5)+³√(4x+4)=³√(2x+2)+³√(3x+7). В ответе укажите сумму найденных корней.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4

В турнире у волейбольной команды было 10 побед и 6 поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательность по

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 5

Найдите все положительные числа x такие, что оба числа x+dfrac1x и x²-4x являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH, а затем на отрезке CH как на диаметре построена окружность. Точки M, N и P отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение BH:CH, если (MP · NP):CP²=0,75 и AH:CH=0,5. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

Имеется 2600 наборов по 50 карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на 100 карточках этих наборов будет написано ровно 99 различных натуральных чисел. Какое наименьшее ко

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

На стороне BC треугольника ABC отмечены точки X и Y, а на меньшей дуге BC его описанной окружности отмечены точки P и Q так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи PX и QY пересекаются в точке R. Найдите угол BAC, если угол BRC равен α. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

Найдите количество пар (x;y) таких, что x,y∈mathbb Z и

Средняя

Выражения и преобразования

10 класс

Первый тур

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 1

Найдите количество целых значений параметра a, при каждом из которых уравнение (a²+a+1)x²+(7a+2)x+(a-1)=0 имеет два корня, один из которых больше 2, а другой — меньше 2.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2

Найдите наибольшее натуральное k такое, что число 300²⁷⁰⁰-3²⁷⁰⁰ делится на 3^k.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 3

Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего 1000 символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от 12. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша?

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 4

Числа a, b, c удовлетворяют равенству 10bigl(a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)bigr)=a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b), причём обе части равенства ненулевые. Найдите наибольшее возможное значение суммы S=a+b+c.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 5

На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G и H и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольники раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме од

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 6

Рассматривают все непустые подмножества множества T={1,2,ldots,100}. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть A — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число 40, а B — аналогичная величина для всех

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 7

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω, а его диагональ AC — биссектриса угла BAD. Найдите радиус окружности ω, если AB=dfrac{√2}{2}, AC=dfrac32, AD=dfrac5{2√2}. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 8

В течение 2N дней Петя планирует готовиться к экзаменам по N различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 9

Последовательность x_n такова, что x₀=2, а для всех целых неотрицательных n frac{x_n+1}{4n²+12n+10}=(x_n/4n²+4n+2) -1. Найдите x₁₀₀.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

Квадрат ABCD вписан в окружность с центром O, точка M — середина его стороны AB. На чертеже отметили точки N и K. Вычислите площадь квадрата ABCD, если расстояние OK=L. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Второй тур

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 1

В треугольнике на приведённом чертеже площади triangle ADE и triangle BFE равны 4, а площадь triangle FDE равна 2. Найдите площадь triangle CDF. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 2

Петя распределяет сумму 63000 рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность 3% и 5% годовых, а в третьем 6% годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также,

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 3

Отрезки AZ и CX — биссектрисы треугольника ABC, а Y — их точка пересечения. Найдите длину стороны AC этого треугольника, если angle ABY=α, площадь треугольника ABC равна S, а площади треугольников ABZ и ACX равны.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4

Найдите минимальное значение параметра a, при котором множество решений уравнения (2a-7)x-y-6a+21=0 имеет ровно одну общую точку с множеством решений системы

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

Найдите количество пар таких натуральных чисел a и b, что a — трёхзначное, b — четырёхзначное, а их произведение делится на 9.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 6

Пусть H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника ABH, касается прямой AC. Найдите косинус угла BCA, если AH=1, AB=3√(11).

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 7

Найдите количество всех пар натуральных чисел x, y, при которых верно равенство ⁴√(10^x)+x²+x+5y=10²¹⁰¹.

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

На занятии по физкультуре учитель расставил n школьников в шеренгу в случайном порядке (любой порядок равновероятен), а затем попросил старосту вычислить количество пар школьников, в которых стоящий справа ниже, чем стоящий слева (между школьниками в паре могут стоять и другие школьники). Какова вер

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 9

Имеется палитра из нескольких различных оттенков цветов. Известно, что все оттенки из неё кроме сиреневого сочетаются с разным количеством других оттенков палитры (включая сиреневый), а сиреневый сочетается ровно с 13-ю. Какое наименьшее количество оттенков может быть в такой палитре?

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10

Рассматриваются многочлены вида P(x)=x⁷+a₁x⁶+a₂x⁵+a₃x⁴+a₄x³+a₅x²+a₆x+128 с неотрицательными коэффициентами a₁,a₂,a₃,a₄,a

Средняя

Выражения и преобразования

9 класс

Первый тур

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 1

Произведение двух натуральных чисел A и B — это четырёхзначное число, у которого первая цифра совпадает с третьей, а вторая совпадает с четвёртой. Какое наибольшее произведение могут иметь числа A и B, если известно, что A+B меньше 195?

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

Миша выписал на доску 7 подряд идущих натуральных чисел и сложил их. Оказалось, что эта сумма заканчивается на 1230123. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных на доске?

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 3

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки E и F, а на сторонах AD и AB — их середины M и N соответственно. Петя соединил некоторые из точек и закрасил четыре из полученных многоугольников, как показано на рисунке, после чего на двух из них написал их площади y и z, а две другие неизвес

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Найдите наименьшее положительное значение константы C такое, что при любых a и b выполняется неравенство C+a²+b²ge ab+a+b.

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 5

Трапеция ABCD с основаниями AD=8, BC=6 вписана в окружность. Хорда EF окружности, содержащая среднюю линию трапеции, имеет длину 3√(11). Какую длину имеет хорда PQ, параллельная EF, проходящая через точку S на стороне AB такую, что AS:BS=4:3? В ответ напишите квадрат искомой величины.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 6

В окружность вписан правильный 24000-угольник A₁A₂ldots A₂₄₀₀₀. Вася начинает движение из точки A₁ и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркивают

Средняя

Теория чисел

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Треугольник XYZ равнобедренный (angle XYZ=angle XZY=35^circ). Внутри угла XYZ, но вне треугольника XYZ взята точка P так, что angle XPY=22^circ, а angle ZPY=55^circ. Найдите angle PYX. Ответ дайте в градусах.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 8

У фокусника есть два набора по 40 карточек. На карточках каждого набора написаны различные натуральные числа от 1 до 40 (по одному числу на карточке). Фокусник перемешал карточки в каждом из наборов. После чего карточки первого набора он положил сверху на карточки второго набора. Затем он посчитал к

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

Рассматривают все непустые подмножества множества {1;2;ldots;150}. Для каждого из них находят среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 10

Вова задумал многочлен Q(x) с целыми коэффициентами. Оказалось, что Q(11)=Q(25)=450. Какое наименьшее значение может принимать его свободный член c, если |c|<150?

Средняя

Теория чисел

Второй тур

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 1

Фишка покрашена в два цвета. Одна сторона — в красный, другая — в синий. На стол положили красной стороной вверх 100 фишек. Вася перевернул 55 фишек, затем Коля перевернул 68 фишек, наконец, Петя перевернул 77 фишек. Оказалось, что теперь все фишки лежат синей стороной вверх. Сколько фишек переворач

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 3

Найдите количество пар таких натуральных чисел a и b, что a — трёхзначное, b — четырёхзначное, в своей записи они не содержат нулевых цифр, а их произведение делится на 15.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 4

Вася записал в тетрадь 40 ненулевых чисел (среди которых могут быть равные), а затем дописал к ним ещё 40 чисел, вычтя из квадрата каждого исходного числа сумму остальных исходных чисел. Какое наибольшее число отрицательных чисел среди всех 80 выписанных чисел могло получиться у Васи?

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 5

В параллелограмме ABCD выполняется соотношение BC=3AB. Биссектрисы углов BAD и ABC пересекают прямую CD в точках P и Q соответственно. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если PQ=5.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 6

Найдите количество способов расставить 150 монет попарно различных номиналов в ряд так, чтобы нашлось не более двух пар монет (не обязательно соседних), для которых монета, стоящая правее, имеет больший номинал.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 7

Для некоторых различных чисел x и y выполняются равенства x²-y²=15(x-y) и x³-y³=225(x-y). При каком наибольшем k может выполняться равенство x⁷-y⁷=k(x⁴-y⁴)?

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 8

На приведённом чертеже ABCD — прямоугольная трапеция, основания BC и AD которой равны a и b соответственно, а O — центр окружности, касающейся стороны CD. Найдите расстояние между точками X и Y. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 9

Положительные числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ и y удовлетворяют равенствам: x₁+x₂+x₃+x₄+x₅-517-256y+96y²=0 и frac1{x₁}+frac1{x₂}+frac1{x₃}+frac1{x₄

Средняя

Выражения и преобразования

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10

Двести школьников собирают наклейки, среди которых есть наклейки редких видов. Оказалось, что у каждого школьника есть наклейки ровно двух редких видов, и для каждого редкого вида наклеек найдётся школьник, у которого есть наклейка такого вида. Также известно, что каких бы 10 школьников ни взять, на

Средняя

Комбинаторика